Simplificação de frações

     

Simplificação de frações

      Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .

    A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

 

Numeração decimal

  Leitura dos números decimais
   No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:

Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos milésimos Centésimos milésimos Milionésimos Partes inteiras Partes decimais

  Leitura
   Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:
   décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;
   centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;
   milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.
 Exemplos:
 1,2:   um inteiro e dois décimos;
 2,34:  dois inteiros e trinta e quatro centésimos
   Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.
 Exemplos:
  0,1 :  um décimo;
  0,79 :  setenta e nove centésimos
Observação:
1.   Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:
  Leitura convencional:  cinco inteiros e cinquenta e três centésimos;
   
  Outras formas:  quinhentos e cinquenta e três centésimos;
                           cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.
  
2.   Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00                    75 = 75,0 = 75,00

 

Transformação de números decimais em frações decimais

   Observe os seguintes números decimais:

• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .
• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .
• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .
• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

    Verifique então que:

   Assim:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal
   Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

   Podemos concluir, então, que:

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Decimais equivalentes    As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe:    Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes.    Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade. Exemplos: 0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000 2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000    Dos exemplos acima, podemos concluir que:    Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.   Comparação de números decimais    Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos:    1º Caso: As partes inteiras O maior é aquele que tem a maior parte inteira.    Exemplos:    3,4 > 2,943, pois 3> 2.                                10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.      2º Caso: As partes inteiras são iguais     O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros.    Exemplos: 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70  (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03  ou  8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.



probabilidade

 

Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

 

Probabilidade Condicional

 Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

 Fórmula de Probabilidade Condicional

 P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) é igual a P(E₁).P(E₂/E₁).P(E₃/E₁ e E₂)...P(E_n/E₁ e E₂ e ...E_n-1).

 Onde P(E₂/E₁) é a probabilidade de ocorrer E₂, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E₁;

P(E₃/E₁ e E₂) é a probabilidade ocorrer E₃, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E₁ e E₂;

P(Pn/E₁ e E₂ e ...E_n-1) é a probabilidade de ocorrer E_n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E₁ e E₂...E_n-1.
 
    Exemplo:
    Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
    Resolução:
    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
    Assim:
    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
 
    Eventos independentes
    Dizemos que E₁ e E₂ e ...E_n-1, E_n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
    Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
    P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)
 
    Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

 

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E₁ ou E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ e E₂)

De fato, se existirem elementos comuns a E₁ e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E₁ e E₂).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E₂ ou E₃ ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

 

Exemplo: Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

 

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

porcentagem

PORCENTAGEM

    É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
     

    Razão centesimal 
    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

   

    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

    Considere o seguinte problema:

    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

    Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:

• Calcular 10% de 300.       
     
• Calcular 25% de 200kg.
         
  Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
  

    EXERCÍCIOS:

    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

   

    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

    2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

    Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

   

    Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

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    Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

    Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

 

    Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

    No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
    Fator de Multiplicação =  1 - taxa de desconto (na forma decimal)

    Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

    Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

 

Operações com números racionais

  

Operações com números racionais

    Adição e Subtração

    Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

    Exemplo 1: Qual é a soma:

   

  

    Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 

     

 

    Multiplicação e divisão

    Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

   

    Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

   

    

    Potenciação e radiciação

    Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos abaixo:

   

    Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

   

conjunto dos numeros racionais

    

Conjunto dos números racionais

    O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

     O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.

    Exemplos:

     

   

   

 

Observe o desenho:

 

 

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

    Outros subconjuntos de Q:

• Q^* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;
• Q₊ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;
• Q_- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;
• Q₊^* é o conjunto dos números racionais e positivos;
• Q_-^* é o conjunto dos números racionais negativos.

 

 

Números racionais

  
    Racionais Positivos e Racionais Negativos

    O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

                 

    Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

    Por exemplo:

    (+17) : (-4) =

     é um número racional negativo

  

    Números Racionais Positivos

    Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

·        (+8) : (+5) 

 

·        (-3) : (-5) 

 

     Números Racionais Negativos

    São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

·        (-8) : (+5)

 

·        (-3) : (+5)

 

     Números Racionais: Escrita Fracionária

       têm valor igual a  e representam o número racional .

 

    Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

   

    Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.