TABELA TRIGONOMÉTRICA

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo	sen	cos	tg
1	0,017452	0,999848	0,017455
2	0,034899	0,999391	0,034921
3	0,052336	0,99863	0,052408
4	0,069756	0,997564	0,069927
5	0,087156	0,996195	0,087489
6	0,104528	0,994522	0,105104
7	0,121869	0,992546	0,122785
8	0,139173	0,990268	0,140541
9	0,156434	0,987688	0,158384
10	0,173648	0,984808	0,176327
11	0,190809	0,981627	0,19438
12	0,207912	0,978148	0,212557
13	0,224951	0,97437	0,230868
14	0,241922	0,970296	0,249328
15	0,258819	0,965926	0,267949
16	0,275637	0,961262	0,286745
17	0,292372	0,956305	0,305731
18	0,309017	0,951057	0,32492
19	0,325568	0,945519	0,344328
20	0,34202	0,939693	0,36397
21	0,358368	0,93358	0,383864
22	0,374607	0,927184	0,404026
23	0,390731	0,920505	0,424475
24	0,406737	0,913545	0,445229
25	0,422618	0,906308	0,466308
26	0,438371	0,898794	0,487733
27	0,45399	0,891007	0,509525
28	0,469472	0,882948	0,531709
29	0,48481	0,87462	0,554309
30	0,5	0,866025	0,57735
31	0,515038	0,857167	0,600861
32	0,529919	0,848048	0,624869
33	0,544639	0,838671	0,649408
34	0,559193	0,829038	0,674509
35	0,573576	0,819152	0,700208
36	0,587785	0,809017	0,726543
37	0,601815	0,798636	0,753554
38	0,615661	0,788011	0,781286
39	0,62932	0,777146	0,809784
40	0,642788	0,766044	0,8391
41	0,656059	0,75471	0,869287
42	0,669131	0,743145	0,900404
43	0,681998	0,731354	0,932515
44	0,694658	0,71934	0,965689
45	0,707107	0,707107	1
46	0,71934	0,694658	1,03553
47	0,731354	0,681998	1,072369
48	0,743145	0,669131	1,110613
49	0,75471	0,656059	1,150368
50	0,766044	0,642788	1,191754
51	0,777146	0,62932	1,234897
52	0,788011	0,615661	1,279942
53	0,798636	0,601815	1,327045
54	0,809017	0,587785	1,376382
55	0,819152	0,573576	1,428148
56	0,829038	0,559193	1,482561
57	0,838671	0,544639	1,539865
58	0,848048	0,529919	1,600335
59	0,857167	0,515038	1,664279
60	0,866025	0,5	1,732051
61	0,87462	0,48481	1,804048
62	0,882948	0,469472	1,880726
63	0,891007	0,45399	1,962611
64	0,898794	0,438371	2,050304
65	0,906308	0,422618	2,144507
66	0,913545	0,406737	2,246037
67	0,920505	0,390731	2,355852
68	0,927184	0,374607	2,475087
69	0,93358	0,358368	2,605089
70	0,939693	0,34202	2,747477
71	0,945519	0,325568	2,904211
72	0,951057	0,309017	3,077684
73	0,956305	0,292372	3,270853
74	0,961262	0,275637	3,487414
75	0,965926	0,258819	3,732051
76	0,970296	0,241922	4,010781
77	0,97437	0,224951	4,331476
78	0,978148	0,207912	4,70463
79	0,981627	0,190809	5,144554
80	0,984808	0,173648	5,671282
81	0,987688	0,156434	6,313752
82	0,990268	0,139173	7,11537
83	0,992546	0,121869	8,144346
84	0,994522	0,104528	9,514364
85	0,996195	0,087156	11,43005
86	0,997564	0,069756	14,30067
87	0,99863	0,052336	19,08114
88	0,999391	0,034899	28,63625
89	0,999848	0,017452	57,28996
90	1	0	-

Potenciação e radiciação de números fracionários

  

Potenciação e radiciação de números fracionários

    Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos abaixo:

   

    Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

   

Multiplicação e divisão de números fracionários

Multiplicação e divisão de números fracionários

    Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

   

    Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

   

Adição e subtração de números fracionários

Adição e subtração de números fracionários

    Temos que analisar dois casos:

    1º) denominadores iguais

         Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

         Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

        Observe os exemplos:

       

 

    2º) denominadores diferentes

         Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .

        Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8

(10:2).5 = 25

       

        Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Números fracionários

Números fracionários

    Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

    Substituindo X, temos:

    X por 0 temos: 5.0 = 0    X por 1 temos: 5.1 = 5.

    Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

    Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

    Portanto, uma fração  (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário .

    Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Frações equivalentes

Frações equivalentes

    Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

    Exemplo: são equivalentes

    Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

    Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

   

    Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

 

Simplificação de frações

      Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .

    A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
   

Sistemas Lineares

  

Sistemas Lineares

  Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

  
Resumindo, um sistema linear pode ser:

  a) possível e determinado (solução única);
  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
  c) impossível (não tem solução).

 

  Sistema normal

Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

 

 Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D_xi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

 

  Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

 a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

 

 b) possível e indeterminado, se D= D_x1 = D_x2 = D_x3 = ... = D_xn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, D_x =0, D_y=0 e D_z=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e D_xi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

 

                 

Como D=0 e D_x0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.

 

 Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

          e   

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S₁ e S₂ são equivalentes: S₁ ~ S_2.

 

 Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e   

S₁ ~S₂

  
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S₁ ~S₂

 

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

 

Dado  , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

 

S₁~S₂, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
  

Sistemas escalonados

   Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

 

     Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:  

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes  da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:  

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

 

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

 

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:            GI  = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6= 3012z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.